🌸 삼각함수 마스터 헬퍼

📖 삼각함수란 뭘까요?

🏔️

한 줄 핵심 비유

삼각함수는 "직각삼각형에서 변의 비율"이에요!
빗변을 1로 고정했을 때, 높이(sin)와 밑변(cos)이 각도에 따라 어떻게 변하는지 나타내요.

🌸 가장 기본 정의

직각삼각형에서 각도 θ(세타)가 있을 때:

sin θ = 높이 ÷ 빗변 | cos θ = 밑변 ÷ 빗변 | tan θ = 높이 ÷ 밑변

💡 왜 빗변으로 나눌까? 삼각형 크기가 달라도 비율은 항상 같아요! 작은 삼각형이든 큰 삼각형이든 30° 각도라면 sin은 항상 0.5예요.

🎀 최강 암기법 — SOH CAH TOA

Sin = Opposite / Hypotenuse → sin = 높이/빗변
Cos = Adjacent / Hypotenuse → cos = 밑변/빗변
Tan = Opposite / Adjacent → tan = 높이/밑변

🌍 실생활에서 어디 쓰이나요?

🗼

건물 높이 측정

바닥에서 건물 꼭대기를 올려다보는 각도(앙각)를 재면 높이를 계산할 수 있어요!

높이 = 거리 × tan(앙각)

🎵

음파·파동

소리, 빛, 전파 모두 사인파 형태예요. 이어폰 소리가 sin 함수 그래프 모양이에요!

y = A·sin(2πft)

🎢

롤러코스터 설계

경사면 각도, 속도, 중력 계산에 모두 삼각함수가 필요해요!

F = mg·sin θ

🛸

GPS·위성 항법

위성과 지구 사이 거리, 각도 계산에 삼각함수가 핵심이에요!

삼각측량 원리

🎮

3D 게임·그래픽

캐릭터 회전, 카메라 각도, 물체 이동 모두 cos·sin으로 계산해요!

x' = x·cos θ - y·sin θ

🌊

조수·날씨 예측

조수 높이 변화, 온도 주기 패턴도 삼각함수로 모델링해요!

h(t) = A·sin(Bt + C) + D

🧩 단위원으로 완전 이해하기

💜 단위원이란?

반지름이 1인 원! 이 원 위의 점 (x, y)에서

cos θ = x좌표 | sin θ = y좌표

🌟 핵심 아이디어: 각도 θ를 돌리면 원 위의 점이 움직여요. 그 점의 x좌표가 cos, y좌표가 sin이에요! 그래서 항상 cos²θ + sin²θ = 1 (x² + y² = 1이니까!)

🎡

🎡 관람차 비유

관람차를 타고 있다고 상상해보세요!
• sin = 지금 내 높이 (위에 있으면 +, 아래면 -)
• cos = 지금 내 옆 위치 (오른쪽이면 +, 왼쪽이면 -)
관람차가 돌수록 내 위치(sin, cos)가 파도처럼 변해요! 그게 바로 삼각함수 그래프예요 🌊

🗺️ 사분면 부호 암기법 — "모두 사인 탄코"

1사분면: 모두 + 2사분면: 사인(sin)만 +
3사분면: 탄젠트(tan)만 + 4사분면: 코사인(cos)만 +
→ "모사탄코" 순서로 외우면 끝!

🪜 단계별 문제 풀이법

예제: sin(150°)의 값을 구하시오

몇 사분면인지 확인

150°는 90°~180° 사이 → 2사분면
2사분면에서 sin은 양수 (+)!
기준각(참조각) 찾기

2사분면 → 180° - 150° = 30°
기준각이 30°라는 뜻! (180°에서 빼면 돼요)

참조각 = 180° - 150° = 30°
기준각의 삼각함수 값 적기

sin(30°) = 1/2 (외워야 할 값!)

sin(30°) = 1/2
사분면 부호 적용

2사분면에서 sin은 +이므로 그대로!

sin(150°) = +sin(30°) = +1/2

✅

공식 정리

2사분면: f(180°-θ) → sin은 그대로, cos·tan은 부호 반전
3사분면: f(180°+θ) → tan은 그대로, sin·cos는 부호 반전
4사분면: f(360°-θ) → cos은 그대로, sin·tan은 부호 반전

🌸 특수각 암기법 🌸

🔢 sin 값 손가락 암기법

0°, 30°, 45°, 60°, 90° → 손가락 0, 1, 2, 3, 4개 펼쳐!
sin θ = √(손가락수) / 2
sin 0° = √0/2 = 0 | sin 30° = √1/2 = 1/2 | sin 45° = √2/2
sin 60° = √3/2 | sin 90° = √4/2 = 1
cos는 반대 순서로 읽으면 돼요! ✨

📊 삼각함수 그래프 특징 이해

🌊 sin 그래프

y = sin θ

• 주기: 2π (360°) — 360° 돌면 처음으로 돌아와요
• 최댓값: 1, 최솟값: -1
• 0°에서 시작해서 위로 올라가는 파도 모양 🌊
• y절편 = 0 (원점에서 시작)

💜 cos 그래프

y = cos θ

• sin 그래프를 왼쪽으로 90° 이동한 것!
• 0°에서 최댓값 1로 시작해요 (sin보다 먼저 봉우리)
• cos θ = sin(θ + 90°) — sin과 cos은 사실 같은 함수! 위치만 달라요

⏰

A·sin(Bx + C) + D 쉽게 기억하기

A = 진폭 → 파도 높이 (A가 2면 파도가 2배 높아짐)
B = 주기 변화 → 파도 빠르기 (B가 2면 2배 빠른 파도)
주기 = 2π / B
C = 위상이동 → 파도를 옆으로 밀기
D = 수직이동 → 파도를 위아래로 이동

🧮 삼각함수 계산기

📌 계산 원리

각도를 넣으면 단위원 위 좌표를 계산해요!
라디안(rad)이 기본 단위이므로 도(°)로 입력하면 자동으로 변환해 드려요.

각도 입력

단위

⚠️

sin θ

cos θ

tan θ

csc = 1/sin

sec = 1/cos

cot = 1/tan

🔄 역삼각함수 계산기

💡 역삼각함수란?

"sin이 0.5인 각도는 몇 도?" 처럼 값 → 각도를 구하는 것!
arcsin(0.5) = 30° 처럼 씁니다.

함수

값 입력 [-1, 1]

결과 단위

⚠️

↔️ 각도 단위 변환기

도 (°)

⇄

라디안

⇄

그라디안

💡 π rad = 180° = 200 gon | 1° = π/180 rad ≈ 0.01745 rad

⭕ 인터랙티브 단위원

🌟 단위원의 핵심

슬라이더를 움직여 각도를 바꿔 보세요! 점의 x좌표 = cos, y좌표 = sin이에요.

각도: 0°

cos θ = x

1.0000

sin θ = y

0.0000

tan θ

0.0000

사분면

1사

🗺️ 사분면 + 부호 완전 정리

1사분면 (0°~90°)

sin ✅ cos ✅ tan ✅

모두 양수 → 가장 간단!

2사분면 (90°~180°)

sin ✅ cos ❌ tan ❌

sin만 + (왼쪽 위 = y만 양수)

3사분면 (180°~270°)

sin ❌ cos ❌ tan ✅

tan만 + (왼쪽 아래 = x,y 모두 -)

4사분면 (270°~360°)

sin ❌ cos ✅ tan ❌

cos만 + (오른쪽 아래 = x만 양수)

🎯 "모사탄코" 암기법

모두 사인 탄코 → 1사, 2사, 3사, 4사분면에서 양수인 함수
또는 영어로 "All Students Take Calculus" (1→All, 2→Sin, 3→Tan, 4→Cos)

📈 삼각함수 그래프 시각화

🌊 파라미터 역할

y = A·f(Bx + C) + D

A = 진폭(파도 높이) | B = 주기 (주기=2π/B) | C = 위상이동(좌우) | D = 수직이동(상하)

sin (분홍) cos (보라) tan (민트)

진폭 A

주기 인수 B

위상 C

수직이동 D

📋 주요 각도 삼각함수 값표

🔢 손가락 암기법

0°·30°·45°·60°·90° → 손가락 0~4개
sin = √(손가락수) / 2
cos는 반대 순서! tan = sin ÷ cos

🔢 커스텀 범위 값표 생성

시작 (°)

끝 (°)

간격 (°)

📐 삼각함수 항등식 완전 정리

피타고라스 항등식

★ 가장 중요한 항등식

sin²θ + cos²θ = 1

단위원에서 x² + y² = 1이므로 자동으로 성립! 절대 잊으면 안 돼요.

🎀 꿀팁: 이걸 sin² = 1 - cos² 또는 cos² = 1 - sin²으로 변형해 쓰는 경우가 매우 많아요!

tan 버전

tan²θ + 1 = sec²θ

sin²+cos²=1을 cos²으로 나누면 유도됩니다.

cot 버전

1 + cot²θ = csc²θ

sin²+cos²=1을 sin²으로 나누면 유도됩니다.

합차 공식

sin 덧셈·뺄셈

sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ

🎀 꿀팁: sin은 서로 다른 함수끼리 곱해서 더하거나 빼요 (sin·cos + cos·sin)

cos 덧셈·뺄셈

cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ

🎀 꿀팁: cos는 같은 함수끼리 곱해서 더하거나 빼요 (cos·cos - sin·sin) — 부호가 반전!

tan 덧셈·뺄셈

tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)

이배각 공식

sin 이배각

sin 2θ = 2 sinθ cosθ

sin(θ+θ) 합차 공식에서 유도됩니다.

cos 이배각 (3가지 형태 모두 중요!)

cos 2θ = cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ = 2cos²θ - 1

🎀 꿀팁: 수능에서 cos²θ = (1 + cos2θ)/2, sin²θ = (1 - cos2θ)/2 형태로 많이 나와요!

반각 · 대칭 공식

반각 공식

sin²(θ/2) = (1 - cosθ)/2 | cos²(θ/2) = (1 + cosθ)/2

여각·보각·부각

sin(90°-θ) = cosθ | sin(180°-θ) = sinθ | sin(-θ) = -sinθ

cos(90°-θ) = sinθ | cos(180°-θ) = -cosθ | cos(-θ) = cosθ

✅ 항등식 수치 검증기

검증 각도 (°)

📏 사인·코사인 법칙 계산기

📌 사인 법칙이란?

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

변과 그 맞꼭지각의 sin 비율은 항상 같아요! R은 외접원 반지름이에요.

⬇ 아는 값 3개 이상 입력 (모르면 비워두기)

변 a

변 b

변 c

각 A (°)

각 B (°)

각 C (°)

⚠️

📐 삼각형 넓이 계산기

💡 넓이 공식

넓이 = ½ · a · b · sinC

두 변과 그 사이각을 알면 바로 넓이를 구할 수 있어요!

변 a

변 b

끼인각 C (°)

⚠️

🎯 삼각함수 퀴즈

점수

0/0

문제

정답률

난이도